Jak ustawić płot na łące?

Szczegóły

Kategoria: Aktualności

W Instytucie Matematyki UJ 3 grudnia 2015 r. klasy 1a i 2a uczestniczyły w "matematycznym czwartku na UJ" . Młodzież wysłuchała wykładu doktoranta Karola Gryszki pt. Jak ustawić płot na łące?

Wykładowca przedstawił wybrane problemy matematyczne, których zaletą jest to, że są bardzo proste do sformułowania, ale posiadają często niebanalne rozwiązania lub rozwiązanie danego problemu nie jest jeszcze znane.

1)  Problem Collatza

Weźmy dowolną liczbę całkowitą dodatnią k. Jeśli liczba ta jest parzysta, dzielimy ją przez 2. Natomiast jeśli k jest nieparzysta, mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1.

Tak tworzymy ciąg:

 Hipoteza Collatza:

„Nie ważne od jakiej liczby całkowitej dodatniej byśmy nie wystartowali, to i tak dostaniemy 1”

Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb c₀ aż do 3×2⁵³ (prawie 2.70216 × 10¹⁶). Granicę tę w lutym 2004r. przesunięto do 2 ⁵⁸ (ponad

2.8823 × 1017), jednak dla ogólnego przypadku problem nadal pozostaje nierozstrzygnięty. Są dwa możliwe warianty rozwiązania negatywnego: 

• ciąg c_n wpada w cykl ; (kończący się …4,2,1)
• ciąg c_n jest rozbieżny do nieskończoności.

Paul Erdos wypowiedział o problemie Collatza słynne zdanie:

„Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy”.

Niewątpliwie świadczy to o złożoności ewentualnego rozwiązania, z drugiej strony kontrast pomiędzy ową złożonością a prostotą sformułowania jest intrygujący.

2) Problem Nieparzystkowa

 Burmistrz miasta liczącego 32 obywateli w trosce o ich aktywizację zarządził powołanie stowarzyszeń które spełniają następujące warunki:

a)każde stowarzyszenie musi mieć nieparzystą liczbę członków
b)część wspólna dwóch stowarzyszeń musi mieć zawsze parzystą liczbę członków
c)lista członków różnych stowarzyszeń musi być różna

Pytanie:  ile stowarzyszeń można w mieście utworzyć
Odpowiedź:    ( spróbuj własnych sił  - odpowiedź zostanie opublikowana za tydzień)

3. Problem Parzystkowa

Burmistrz miasta liczącego 32 obywateli w trosce o ich aktywizację zarządził powołanie stowarzyszeń które spełniają następujące warunki:

a)każde stowarzyszenie musi mieć parzystą liczbę członków, dopuszcza się stowarzyszenie puste
b)część wspólna dwóch stowarzyszeń musi mieć zawsze nieparzystą liczbę członków
c)lista członków różnych stowarzyszeń musi być różna

Pytanie:  ile stowarzyszeń można w mieście utworzyć
Odpowiedź:( spróbuj własnych sił  -  odpowiedź zostanie opublikowana za tydzień)

3)Problem koza – pole trawy

Rolnik ma kozę, a pole na którym się ona pasie ma kształt koła. Aby koza która jest z natury żarłoczna nie zjadła całej trawy, rolnik chce postawić płot dzielący pole na połowę.  Palik do którego uwiązana jest krowa może być wbity na ścieżce która biegnie wokół pola.
Jak długi musi być sznurek do którego uwiązana jest koza, aby pole pola na którym się ona pasie było jego połową.

Rozwiazanie:

   Niewiadomą jest R.

Równanie to w sposób przybliżony  może rozwiązać tylko komputer.

Dla kola o promieniu r=1 długość sznurka do którego przywiązana jest koza wynosi  R=1.15872847 

• « poprz.
• nast. »